数学者でない人にとって、存在しない「虚数」を表す文字「i」という概念は理解しづらいかもしれない。しかし、この考え方に心を開けば、全く新しい世界が見えてくる。
私は複素数を扱う数学の分野である解析学を研究する数学者である。よく知られている実数（正負の整数、分数、平方根、立方根、そしてπのような数）とは異なり、複素数は虚数成分を持っている。これは複素数が実数と虚数i（-1の平方根）の両方で構成されていることを意味する。
思い出してほしいが、数の平方根とは、二乗するともとの数になる数のことである。正の数に自分自身を掛けると正の数になる。負の数に自分自身を掛けても正の数になる。虚数iは、自分自身に掛けると負になるという、ある意味不思議な数を表している。
数学者でない人との虚数についての会話では、しばしば「でもそんな数は実際には存在しないでしょう？」という反論が出てくる。このような懐疑的な考えを持つ人は一人ではない。数学の巨人たちでさえ、複素数を受け入れるのに苦労した。まず、-√1を「虚数」と呼ぶことは、それが空想的なものではないことを理解する助けにはならない。数学者ジェロラモ・カルダーノ（Girolamo Cardano）は1545年の複素数を扱った著書「大いなる技法」の中で、それらを「微妙で無用なもの」として退けた。最も偉大な数学者の一人であるレオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）でさえ、√(-2) √(-3)を√6と計算したと言われている。正しい答えは-√6である。
高校では、未知の変数が二乗される方程式の解を与える二次方程式の公式に出会ったかもしれない。あなたの高校の先生は、二次方程式の公式の平方根の中の式(b²-4ac)が負になった場合の対処法を説明したくなかったのかもしれない。彼らはこれを「大学で扱うこと」として片付けていたかもしれない。
しかし、負の数の平方根の存在を信じる意志があれば、全く新しい種類の二次方程式の解を得ることができる。実際、素晴らしく有用な数学の世界が見えてくる：複素解析の世界である。
複素数は数学の他の分野を簡素化する
複素数への信頼の飛躍によって何が得られるのか？
一つには、三角法がはるかに簡単になる。いくつもの複雑な三角関数の公式を暗記する代わりに、すべてを支配する一つの方程式だけが必要になる：オイラーの1740年の公式である。適切な代数スキルがあれば、オイラーの公式を操作して、三角形の長さや角度を測定するために使用される標準的な三角関数の公式のほとんどが一瞬で導かれることがわかる。
微積分も簡単になる。ロジャー・コーツ（Roger Cotes）、「虚数」という用語を作ったルネ・デカルト（René Descartes）などの数学者が観察したように、複素数によって一見不可能な積分が簡単に解け、複雑な曲線の下の面積を測定できるようになる。
複素数はまた、定規とコンパスで構築できるすべての可能な幾何学的図形を理解する上でも役割を果たす。ジャン＝ロベール・アルガン（Jean-Robert Argand）やカール・フリードリヒ・ガウス（Johann Carl Friedrich Gauß）などの数学者が指摘したように、複素数を使って五角形や八角形などの幾何学的図形を操作することができる。
現実世界における複素解析
複素解析は現実世界に多くの応用がある。
数学者ラファエル・ボンベッリ（Rafael Bombelli）の、複素数に対して加算、減算、乗算、除算などの代数演算を行うというアイデアにより、それらを微積分で使用することが可能になった。
ここから、科学者が物理学で信号（またはデータ伝送）を研究するために使用するものの多くが、より管理しやすく理解しやすくなる。例えば、複素解析はデータ内の小さな振動であるウェーブレットを操作するために使用される。これらは衛星からの乱れた信号からノイズを除去したり、より効率的なデータ保存のために画像を圧縮したりする上で非常に重要である。
複素解析によってエンジニアは複雑な問題をより簡単なものに変換することができる。したがって、それは複雑な構造の電気的および流体的性質を研究するなど、多くの応用物理学のトピックにおいても重要なツールである。
複素数にもっと慣れ親しむようになると、カール・ワイエルシュトラス（Karl Weierstrass）、オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin-Louis Cauchy）、ベルンハルト・リーマン（Bernhard Riemann）などの有名な数学者たちは複素解析を発展させることができた。これは数学を簡素化し科学を進歩させるだけでなく、それらをより理解しやすくする有用なツールを構築したのである。
