宇宙の形とは？数学者はトポロジーを使って世界とその中のすべてのものの形を研究する

2025年2月28日

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周囲の環境を見渡すと、あなたは平面上に住んでいるように見えるかもしれない。結局のところ、これがあなたが新しい都市を地図で案内できる理由である：周囲のすべての場所を表す平らな紙片。これが過去に一部の人々が地球は平らだと信じていた理由かもしれない。しかし、現在ほとんどの人々はそれが真実からかけ離れていることを知っている。

あなたは巨大な球体の表面、地球サイズのビーチボールのような表面に数カ所の凸凹が加わったものの上に住んでいる。球体の表面と平面は可能な2次元空間の2つであり、つまりあなたは2つの方向に歩くことができる：南北または東西。

あなたが住んでいる可能性のある他の空間とは何だろうか？つまり、あなたの周りのどのような他の空間が2次元なのか？例えば、巨大なドーナツの表面も別の2次元空間である。

幾何学的トポロジーと呼ばれる分野を通じて、私のような数学者はあらゆる次元のすべての可能な空間を研究している。安全なセンサーネットワークの設計、データのマイニング、または折り紙を使った衛星の展開など、基礎となる言語とアイデアはトポロジーのものである可能性が高い。

宇宙の形

宇宙を見回すと、地球の表面が2次元空間のように見えるのと同様に、3次元空間のように見える。しかし、地球と同様に、宇宙全体を見れば、それは2次元のビーチボール表面の3次元版のような、より複雑な空間、あるいはそれよりもさらに特異なものかもしれない。

あなたが巨大なビーチボールのようなものの上に住んでいることを判断するためにトポロジーは必要ないが、可能なすべての2次元空間を知ることは有用である。1世紀以上前、数学者たちはすべての可能な2次元空間とそれらの多くの特性を解明した。

ドーナツはトーラスとも呼ばれ、地球の表面のように2方向に移動できる形をしている。(Credit: YassineMrabet via Wikimedia Commons, CC BY-NC-SA)

過去数十年間で、数学者たちはすべての可能な3次元空間について多くのことを学んだ。2次元空間のような完全な理解はまだ得られていないが、多くのことを知っている。この知識を持って、物理学者と天文学者は人々が実際に住んでいる3次元空間が何であるかを判断しようとすることができる。

答えは完全には分かっていないが、多くの興味深く驚くべき可能性がある。時間を次元として考慮すると、選択肢はさらに複雑になる。

これがどのように機能するかを理解するために、宇宙の中の何か—例えば彗星—の位置を記述するには4つの数字が必要だと注意してほしい：3つはその位置を記述し、1つはその位置にある時間を記述する。これら4つの数字が4次元空間を構成しているものである。

ここで、どのような4次元空間が可能であり、それらの空間のどれにあなたが住んでいるかを考えることができる。

より高い次元でのトポロジー

この時点で、4より大きな次元を持つ空間を考慮する理由はないように思えるかもしれない。なぜなら、4が私たちの宇宙を記述し得る想像可能な最高の次元だからである。しかし、ストリング理論と呼ばれる物理学の分野は、宇宙には4つよりもはるかに多くの次元があることを示唆している。

ロボットの動作計画など、より高次元の空間について考えることの実用的な応用もある。倉庫のフロアにある工場内を移動する3つのロボットの動きを理解しようとしているとしよう。床にグリッドを置き、各ロボットの位置をグリッド上のx座標とy座標によって記述することができる。3つのロボットのそれぞれに2つの座標が必要なので、ロボットの可能なすべての位置を記述するためには6つの数字が必要になる。ロボットの可能な位置を6次元空間として解釈することができる。

ロボットの数が増えるにつれて、空間の次元も増加する。障害物の位置などの他の有用な情報を考慮に入れると、空間はさらに複雑になる。この問題を研究するためには、高次元空間を研究する必要がある。

惑星と宇宙船の動きをモデル化することから大規模なデータセットの「形」を理解しようとすることまで、高次元空間が現れる他の無数の科学的問題がある。

結び目に縛られて

トポロジー研究者が研究するもう一つのタイプの問題は、ある空間が別の空間の中にどのように収まるかである。

例えば、結び目のある紐のループを持っている場合、1次元空間（紐のループ）が3次元空間（あなたの部屋）の中にある。そのようなループは数学的結び目と呼ばれる。

結び目の研究は最初は物理学から生まれたが、トポロジーの中心的な分野となった。それらは科学者が3次元と4次元の空間を理解する上で不可欠であり、研究者たちがまだ理解しようとしている素晴らしく微妙な構造を持っている。

結び目は、他の空間の内側にある空間の例である。(Credit: Jkasd/Wikimedia Commons)

さらに、結び目は物理学の弦理論から生物学のDNA組換え、化学のキラリティまで、多くの応用がある。

あなたはどんな形の上に住んでいるのか？

幾何学的トポロジーは美しく複雑な主題であり、空間についてまだ無数の興味深い質問に答えることができる。

例えば、滑らかな4次元ポアンカレ予想は「最も単純な」閉じた4次元空間は何かを問い、スライス-リボン予想は3次元空間内の結び目が4次元空間内の表面とどのように関係するかを理解することを目指している。

トポロジーは現在、科学と工学で有用である。あらゆる次元の空間の謎をさらに解明することは、私たちが住んでいる世界を理解し、実世界の問題を解決するために非常に重要になるだろう。

本記事は、ジョージア工科大学数学教授John Etnyre氏によって執筆され、The Conversationに掲載された記事「What’s the shape of the universe? Mathematicians use topology to study the shape of the world and everything in it」について、Creative Commonsのライセンスおよび執筆者の翻訳許諾の下、翻訳・転載しています。