計算機の「時間と空間」の常識を覆す新理論が登場 ―― 50年来の定説を覆すメモリ効率化技術

2025年3月6日

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計算機科学における長年の課題であった「時間と空間」の関係に、新たな知見がもたらされた。MITの研究者が発表した新たな論文は、特定の計算において、従来考えられていたよりもはるかに少ないメモリで実行できる可能性を示唆している。この発見は、計算機の性能向上やアルゴリズム設計に大きな影響を与える可能性がある。

計算量理論における「時間」と「空間」のトレードオフ

コンピュータサイエンスにおいて、ある計算を実行するために必要な「時間」（計算ステップ数）と「空間」（メモリ量）の関係は基本的な研究テーマだ。1970年代から、計算ステップ数がX必要な処理には、少なくともX/logXのメモリが必要だとされてきた。例えば、100ステップの計算には少なくとも50のメモリスロットが必要とされていた（log 100 = 2のため）。

しかし、MITのRyan Williams教授による新研究は、この長年の常識を覆す可能性を示した。この研究はプレプリントサーバーのarXivで公開され、理論計算機科学の主要会議であるSTOC（Symposium on Theory of Computing）2025に採択され、掲載予定となっている。

Williams教授の理論によれば、計算ステップ数tに対して必要なメモリは√(t log t)程度まで削減できる。つまり、100ステップの計算を従来の50スロットではなく、わずか約15のメモリスロットで実行できる可能性が示されたのだ。

論文「Simulating Time With Square-Root Space」でWilliams教授は「これは時間と空間の共存する計算の世界を根本から変えうる発見です」と述べている。この研究はプレプリントサーバー『arXiv』に発表され、計算理論学会で大きな反響を呼んでいる。

「木構造評価」と「触媒計算」の革新的活用

「理論コンピュータサイエンスの最も基本的な問いの一つは：計算において時間と空間はどのように関係するのか？です」
Ryan Williams

Williams教授の新理論の鍵となっているのは、「木構造評価（Tree Evaluation）」と呼ばれる特殊なアルゴリズムと、「触媒計算(Catalytic Computing)」という概念である。

木構造評価は2024年にJames Cook氏とIan Mertz氏によって開発されたアルゴリズムで、その名前は、問題が枝のような設計を持ち、「根」の問題に取り組む前に複数の層の問題のコピーを解かなければならないことに由来している。これにより、通常は深さに応じて指数関数的に増加するメモリ消費を、劇的に抑えることができる。

具体的には、計算の過程をいくつかのブロックに区切り、それらを木構造として整理する。例えば、数十ステップ単位で切り出し、情報の変化も同様に分割していく。そして「ブロック間のつながり」をノードとエッジに見立て、最終的な計算結果が木の根（ルート）に集約されるよう設計する。この方法では「必要最低限の部分だけを再帰的に調べる」という工夫により、通常なら木の深さに比例して増大するはずのメモリ使用量を劇的に抑えることができる。

そして、今回の手法で重要になるのが、「触媒計算（catalytic computing）」という概念だ。これは、「既にデータで満たされたメモリ領域を、追加の計算に利用できる」という、一見すると直感に反する概念である。これは、化学反応における触媒のように、既存のデータに一時的な変更を加え、計算後に元の状態に戻すことで、見かけ上メモリ消費を増やすことなく計算能力を向上させるというものだ。「触媒的計算は化学の触媒と同様です。触媒がなければ反応は進行しませんが、触媒自体は変化しないのです」とインド工科大学カンプールのRaghunath Tewari氏は説明する。人間が複雑な多段階の問題を短期記憶だけで解くようなものとイメージするとわかりやすいかもしれない。

計算過程のブロック化と超省スペース化

Williams氏の手法は、マルチテープチューリングマシンモデルにおける計算を、時間ステップ数tの処理をいかに少ない空間で再現できるかを調べることで、この省メモリ化を実証している。

具体的には、計算過程を数十ステップ単位のブロックに分割し、テープ上の情報の変化も同様に分割する。そして、「○番目のブロックでどのテープのどの部分を参照しているか」といった対応関係を木構造で整理する。

この木構造を効率的に扱うことで、従来は「X/logX空間」が限界と考えられていた計算を、「√XlogX空間」で実行できる可能性が示された。

New Scientistによると、Williams氏のモデルはあらゆる計算問題を表現しており、この新しい木構造評価アルゴリズムを適用したところ、必要なメモリが大幅に削減されることが実証された。ただし、Williams氏は同誌に対し、この結果は「数学的なトリック」と「魔法のような相殺」の組み合わせであると語っている。

理論的意義と実用的可能性

この新理論は、まだ理論的な段階であり、全ての計算モデルに直ちに適用できるわけではない。しかし、「もしRAMモデルでも同様の省スペース化が達成できれば、アルゴリズム全般が飛躍的に効率化するかもしれない」と多くの研究者が注目している。また、大規模な回路を少ないメモリ空間で評価できる可能性や、分岐プログラムのサイズを劇的に削減できる可能性など、応用範囲は広い。

また、この研究の理論的意義は極めて大きい。コンピュータサイエンスにおける長年の未解決問題である「P対PSPACE問題」（計算時間の多項式で解ける問題と、多項式のメモリ空間で解ける問題の関係）に新たな知見をもたらすものだからだ。

また、Williamsの手法が特に注目される理由のひとつが、「ムーアの法則」（半導体の集積度が約2年ごとに2倍になるという経験則）の限界が見え始めている現在の状況だ。プロセッサの速度向上が鈍化する中、メモリ使用効率を劇的に高める方法は、コンピュータサイエンスの新たな可能性を開くものとして重要視されている。