こんなゲームがある：友達に好きな数字を言ってもらい、それより大きい数字を返す。相手の出した数字に「1」を足すだけで、必ず勝てる。
数字は永遠に続くからだ。一番大きい数字は存在しない。ではなぜか？数学の教授として、私はその答えを見つける手助けができる。
まず、数とは何か、数とはどこから来たのかを理解する必要がある。あなたが数について学んだのは、数を数えるためである。初期の人類も同様のニーズを持っていた。狩りで殺した動物を数えたり、何日経ったかを記録したり。だからこそ彼らは数字を発明したのだ。
しかし、当時の数字はかなり限定的で、非常に単純な形をしていた。多くの場合、”数字”は骨に刻まれた刻み目にすぎず、最大でもせいぜい数百までだった。
数字が大きくなったとき
時代が進むにつれて、人々のニーズは高まっていった。家畜の群れを数え、商品やサービスを取引し、建物や航海のための寸法を測らなければならなかった。そのため、より大きな数字が発明され、それらを表すより優れた方法が考案されるようになった。
約5,000年前、エジプト人は様々な数の記号を使い始め、最終的に100万を表す記号ができた。彼らは通常、それ以上の量に遭遇することはなかったため、この同じ最後の記号を “多数”を表すためにも使った。
ピタゴラスに始まるギリシア人は、数を単なる計数の道具とみなすのではなく、数そのものを研究した最初の人たちである。数の重要性についての本を書いた者として、このステップが人類にとってどれほど重要であったかは、いくら強調してもしきれない。
紀元前500年頃までに、ピタゴラスとその弟子たちは、1、2、3……といった数える数が無限であることに気づいただけでなく、張った弦を弾いたときの音のようなクールなものを説明するのに使えることにも気づいた。
ゼロは重要な数字
しかし、問題があった。ギリシア人たちは精神的には非常に大きな数を考えることができたが、それを書き表すことは難しかった。0という数を知らなかったからである。
大きな数を表現する上で0がどれほど重要かを考えてみよう。1から始めて、最後にどんどんゼロを足していけば、100万（1,000,000）、あるいは1の後にゼロが6つ続く1億、あるいは1後にゼロが9つ続く10億、あるいは1の後にゼロが12個続く1兆、というような数字がすぐに出てくる。
インドで何世紀も前に発明されたゼロがヨーロッパに伝わったのは、西暦1200年頃のことである。これが今日の数字の書き方につながった。
この短い歴史を見れば、数字が何千年もかけて発展してきたことがよくわかる。そして、エジプト人は100万という数字をあまり使わなかったが、われわれには確かにある。経済学者は、政府支出は一般的に100万ドル単位で測定されると言うだろう。
また、科学はさらに大きな数字を必要とするところまで私たちを導いてきた。例えば、私たちの銀河系には約1000億個の星、つまり100,000,000,000個もの星があり、宇宙の原子の数は1の後に82個のゼロが続く場合もある。。
このような大きな数字を思い浮かべるのが難しくても心配はいらない。エジプト人が100万を超える数を扱ったように、「たくさん」と考えればいいのだ。これらの例は、数字が無限に続かなければならない理由のひとつを指し示している。もし私たちに最大値があったとしても、何か新しい用途や発見があれば、私たちは必ずそれを超えてしまうだろう。
ルールの例外
しかし、ある状況下では、人々が実用的な目的のためにそのように設計するため、数字に最大値があることがある。
良い例が時計、あるいは時計算で、1時から12時までの数字だけを使う。12時の次はまた1時に戻るだけなので、13時は存在しない。時計算で友達と「大きい数」ゲームをした場合、相手が12を選んだら負けだ。
数字は人間が発明したものである以上、どのように組み立てれば、数字が終わることなく続いていくのだろうか？数学者たちは、1900年代初頭からこの問題に取り組み始めた。彼らが考え出したのは、2つの仮定に基づいていた：0が始まりの数であること、そしてどんな数にも1を加えると必ず新しい数になること。
これらの仮定は、すぐに私たちに数の数え方のリストを与えてくれる：0＋1＝1、1＋1＝2、2＋1＝3……という具合に、終わりなく続く。
なぜこの2つのルールが仮定なのか不思議に思うかもしれない。例えば、「0」は「1」と同じなのか？例えば、「0」は「無」と同じなのか、もしそうだとしたら、「無」とはいったい何を意味するのか。
2つ目はさらに奇妙に思えるかもしれない。結局のところ、2002に1を足すと2003になるように、2に1を足すと新しい数3になることを簡単に示すことができる。
しかし、これはどんな数でも成り立つと言っていることに注意しよう。ケースは無限にあるのだから、すべてのケースについてこれを検証することはとてもできない。限られた数のステップしか実行できない人間として、無限のプロセスについて主張するときは常に注意しなければならない。そして特に数学者は、当たり前のことを当たり前にすることを拒否する。
ここに、数字が終わらない理由の答えがある：それは、私たちが数を定義しているからである。
さて、負の数だ
負の数である-1、-2、-3などは、この中でどのように位置づけられるのだろうか？-1個のリンゴやオレンジを想像するのは難しいからだ。1796年の時点で、数学の教科書は負の数を使わないように警告していた。
マイナスは計算上の問題に対処するために作られた。足し算をするときは正の数でいい。しかし引き算になると、1マイナス2や2マイナス4のような差を扱うことができない。自由に引き算をしたければ、負の数も必要なのだ。
負の数を作る簡単な方法は、直線上に0、1、2、3、それ以外の数字が等間隔に描かれているのを想像することだ。そして、-1は直線上の+1の反射、-2は+2の反射、と定義する。このようにして、すべての負の数を得ることができる。
おまけに、プラスと同じ数だけマイナスがあるのだから、マイナスの数にも終わりがないこともわかるだろう。
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