OpenAIは2026年10月26日、社内のAIモデルが数学、計算機科学、物理学の3分野で新たな研究成果を得たと発表した。対象は、調和解析における局所平滑化予想、計算量理論の指数時間仮説（ETH）、量子色力学（QCD）を含む場の量子論の存在証明である。ただし、いずれも独立した査読によって正しさが確認されたものではなく、現時点ではOpenAIによる主張にとどまる。同社は10月6日にも多数の数学的成果をGitHubで公開しており、その後、高等研究所（IAS）を拠点とする数学者のグループが、AIによる研究成果の公開方法について相次いで声明を発表していた。今回OpenAIは外部の専門家に協力を求め、3件の成果についてそれぞれ異なる公開・検証方法を採用したうえで、「どの方式が最も有用なのかはまだ分からない」と説明している。実際、3件の成果は公開状況も検証可能な範囲も大きく異なっている。

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3件で異なる公開方法と検証の進捗

OpenAIは今回の発表で、AIが生成した研究原稿を「生の研究データ」の一種と位置づけた。それを科学的な知見へと発展させるため、外部の専門家に「shepherd（取りまとめ役）」を依頼し、必要に応じて研究者によるグループを組織する方針を採った。ただし、専門家の助言に基づいて選ばれた公開方式は、分野によって異なる。数学ではAIの出力をそのまま公開し、研究者が自由に検証や解説に取り組めるようにする。計算機科学では外部の研究者グループを設ける一方、AIの出力も一般公開する。物理学では外部グループを組織し、成果物を公開するかどうかの判断もそのグループに委ねることになった。

公開方式が異なれば、第三者が検証に利用できる資料も変わる。そこで、AIが生成した自然言語の原稿が公開されているか、証明支援系「Lean」による形式化が完了し、その検証範囲を説明する文書が公開されているか、そして公開の判断を誰が下したかという3点から比較する。OpenAIの発表、2本のプレプリント、2件のLean形式化の範囲を説明する文書を整理すると、次のようになる。

分野とOpenAIの主張 AI出力とLean形式化（OpenAIの説明） 公開物 外部グループと公開の判断
数学：局所平滑化予想を全次元で証明し、掛谷予想なども導く AI出力は10月18日、Lean形式化は10月19日 原稿（59ページ、10月25日付）とLean証明をGitHubで公開 外部グループは設けず、相談した専門家の推奨に従って公開。解説や検証は研究者の自主的な取り組みに委ねる
計算機科学：ETHを反駁する 自然言語による反駁は10月16日、Lean形式化は10月17日 原稿（67ページ、10月17日付、25日改訂）とLean証明をGitHubで公開 Impagliazzo、Paturi、Williamsの3氏によるグループが即時公開を決定
物理学：QCDを含む4次元の特定の場の量子論の存在を証明。純粋ヤン＝ミルズ理論の存在証明も含む 自然言語による証明はヤン＝ミルズ理論が9月9日、QCDが9月18日。ヤン＝ミルズ理論の存在証明のLean形式化は10月16日に完了 成果物は非公開。Leanの検証範囲を示す文書も公開されておらず、QCDの形式化については記述がない David Grossが率いる5人のグループが、AIの成果物を公開せず、自ら論文を執筆する方針を決定

3件のうち、AIが生成した自然言語の原稿とLeanによる形式証明がともに公開されたのは、数学の局所平滑化予想と計算機科学のETHに関する2件である。物理学のヤン＝ミルズ理論とQCDの存在証明については、外部グループの判断により成果物の公開が見送られた。OpenAIの説明によれば、物理学の自然言語による証明は9月9日に生成されており、数学の10月18日やETHの10月16日より1カ月以上早い。それにもかかわらず、10月27日時点で外部の研究者が参照できるのは、OpenAIによる発表文だけである。

もっとも、原稿とLeanによる形式証明が公開されたからといって、研究成果そのものの正しさが保証されるわけではない。Leanが検証するのは、形式化された命題が所定の公理や定義に基づいて正しく導かれているかどうかであり、その命題が論文で主張されている内容と一致するかは別途確認する必要がある。実際、ETHについてはLeanの検証対象が標準的に符号化された入力に限られ、証明された計算時間の上界も論文の主張より弱い。範囲を説明する文書は、この結果を劣指数時間での正確な数え上げとして位置づけているが、論文全体の主張を裏付けるものかどうかは別の検証が必要だ。それでも数学とETHの2件については、外部の研究者が公開資料を基に独自の検証を始められる段階に進んだといえる。

局所平滑化予想の「全次元での証明」は先行研究をどう超えるのか

局所平滑化予想は、波が特定の時刻に強く集中する現象を、時間平均ではどこまで抑えられるかという問題に関わる。OpenAIの説明では、波が極端に集中する瞬間があっても、その状態が長く続くわけではなく、典型的な時刻における集中の程度は最悪の場合よりもはるかに小さいという考え方が基礎にある。公開されたプレプリントの序論では、薄い球殻から伝わる波が焦点に集まる瞬間、波の大きさを測る指標の一つであるL^pノルムが、初期状態に比べて大幅に増大する例を挙げている。数学者Soggeが提起したのは、こうした波の大きさを時間区間全体で平均したとき、その値を抑えるためには初期データにどの程度の滑らかさが必要なのかという問いである。最も集中する瞬間だけを評価する場合と異なり、時間平均では初期データに求められる滑らかさを小さくできるというのが、局所平滑化予想の核心となる。

この予想が重要なのは、別の著名な数学的未解決問題にもつながっているためだ。OpenAIは、局所平滑化予想が成立すれば、掛谷予想とSteinの制限予想も導かれると説明している。日本の数学者、掛谷宗一の名に由来する掛谷予想は、n次元空間において、あらゆる方向の長さ1の線分を含む集合がどこまで小さくなり得るかという問題である。具体的には、そのような集合のハウスドルフ次元、すなわち集合の細かな広がりを表す次元が、必ずnになると予想する。

これらの問題に関する研究は、低次元の場合から段階的に進展してきた。OpenAIによれば、局所平滑化予想はSoggeが1991年に提起したもので、2020年にはGuth、Wang、Zhangが空間2次元の場合を証明した論文を『Annals of Mathematics』に発表している。この論文は同誌192巻2号の551〜581ページに掲載され、2020年9月9日にオンライン公開された。また、WangとZahlは2025年2月24日、3次元の掛谷集合について、ミンコフスキー次元とハウスドルフ次元がともに3であることを示したとする論文をarXivに投稿した。これに対し、OpenAIが今回公開したプレプリントは、空間2次元以上のすべての次元について局所平滑化予想を証明したと要旨で主張している。同社によれば、その証明には新たに導入した補助的な偏微分方程式が用いられている。

Leanによる形式化については、公開された範囲文書に検証対象が具体的に記されている。対象は、n≥2、2≤p<∞のすべてについて、半波動のL^pノルムを初期データのW^{s,p}ノルムで抑える評価であり、滑らかさの指数はs=max(0,(n−1)/2−n/p)+ε（任意のε>0）とされる。さらに、掛谷極大作用素に関するL^n評価（δ^−εの損失付き）と、あらゆる方向の単位線分を含むR^nの部分集合のハウスドルフ次元がnであることも形式化の対象に含まれる。ただし、Leanが確認したのはこれらの形式化された命題であり、59ページの論文で述べられた主張全体と一致するかどうかは、研究者による独立した検証が必要だ。OpenAIによると、AIが10月18日に原稿を生成し、翌19日にLeanによる形式化が完了した。その後、外部の専門家に相談した結果、10月6日と同様に成果物をそのまま公開し、研究者による自主的な検証と解説に委ねる方式が選ばれた。

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ETH反駁の主張と、論文自身が認める適用範囲の限界

指数時間仮説（ETH）は、変数がn個ある3-SAT問題を解くには、最悪の場合に指数時間が必要になるとする計算量理論の仮説である。OpenAIが公開したプレプリントは、固定されたk≥2について、k-CNF論理式を満たす割り当ての数を、多項式領域と劣指数時間で正確に求める決定性アルゴリズムを示したと主張している。これが正しければETHへの反例となるため、OpenAIは今回の成果をETHの反駁と位置づけた。同社によれば、AIが自然言語による反駁を生成したのは10月16日で、翌17日にはLeanによる形式化を完了したという。

ただし、論文自身もこの結果の適用範囲を限定している。劣指数時間を表す2^{o(n)}型の上界は、一般の多項式時間帰着では必ずしも維持されないため、仮に今回のアルゴリズムが正しくても、あらゆるNP問題を劣指数時間で解けることにはならない。また、Leanの検証範囲を説明する文書には、形式証明の対象が標準的に符号化された入力に限られることが明記されている。そこで証明された計算時間の上界も、10月25日改訂版の論文が主張するものより弱い。同文書の比較表は、Leanで得られた結果を、多項式領域かつ劣指数時間での正確な数え上げとSATに関する成果として整理している。このため、Leanによる検証が完了したという事実だけで、論文の主張全体が証明されたと解釈することはできない。ETHの意味や、論文とLeanで示された上界の違いについては、XenoSpectrumの関連記事で詳しく解説している。

今回、ETHに関する検証の取りまとめを担うのは、UC San DiegoのRussell ImpagliazzoとRamamohan Paturi、MITのRyan Williamsの3氏である。OpenAIはこのグループの要望を受け、AIが生成した生データをすべて公開するとともに、成果が計算量理論全体に及ぼす影響を議論する会議に資金を出すことを約束した。一方、3氏は研究者に向けた公開書簡で、「私たちの関与を、主張の認証と受け取るべきではない」（原文："Our involvement should not be taken as certification of the claim."）と明確に断っている。さらに、2026年末までにオンライン会合を開催する案について、研究コミュニティから意見を募っている。外部の著名な研究者が検証に参加したことは、成果の正しさが確認されたことを意味しないという立場を、グループ自身が示している。

ヤン＝ミルズ理論の「存在証明」とクレイ数学研究所の懸賞問題は何が違うのか

物理学についてOpenAIは、ゲージ場とフェルミオンを含む、4次元の特定の相互作用する場の量子論について、数学的に厳密な存在証明を得たと主張している。対象にはQCDと、素粒子物理学の標準模型を完成させる最も単純な大統一理論が含まれるという。また、その成果には部分問題として純粋ヤン＝ミルズ理論の存在証明も含まれており、OpenAIはこれをクレイ数学研究所が設定したミレニアム懸賞問題の「一部」に当たると説明した。標準模型そのものではなく大統一理論を対象とした理由については、標準模型を任意に短い距離まで外挿することはできないためとしている。

QCDと純粋ヤン＝ミルズ理論では、扱う相互作用の範囲が異なる。QCDはクォークとグルーオンが強い力を介して相互作用する仕組みを記述する理論であるのに対し、純粋ヤン＝ミルズ理論は、力を媒介するグルーオン同士の相互作用だけを扱う。ここでいう「存在証明」とは、理論を数学的な公理を満たす対象として厳密に構成することを指す。OpenAIは、その証明がBalabanによる構成的場の量子論の研究を基礎としていると説明している。ただし、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題は、理論の存在だけでなく、最も軽い励起が正の質量Δ>0を持つという「質量ギャップ」の証明も要求している。

クレイ数学研究所の公式問題文はArthur JaffeとEdward Wittenがまとめたものであり、その要求と今回のOpenAIの発表を比較すると、次のようになる。

項目 クレイ数学研究所の公式問題文 OpenAIの発表
存在の対象 R^4上の非自明な量子ヤン＝ミルズ理論 純粋ヤン＝ミルズ理論を含む、4次元の特定の相互作用する場の量子論（QCDなど）
存在証明に求められる水準 指定された公理系と少なくとも同等に強い性質の確立を含む 数学的に厳密な存在証明と主張。Balabanの構成的場の量子論を基礎とするが、満たす公理系は発表文に記載がなく判定できない
質量ギャップ Δ>0であることの証明を要求 発表文に言及なし
ゲージ群の範囲 任意のコンパクト単純ゲージ群G 発表文に記述がなく判定できない

クレイ数学研究所が求めているのは、任意のコンパクト単純ゲージ群について、ヤン＝ミルズ理論の存在と質量ギャップの両方を証明することである。一方、OpenAIが今回主張しているのは、純粋ヤン＝ミルズ理論を含む特定の場の量子論の存在証明であり、質量ギャップについては発表文で言及していない。ただし、証明の本体が公開されていない以上、その中に質量ギャップやゲージ群の適用範囲に関する議論が含まれているかどうかも確認できない。Leanによる形式化についても、ヤン＝ミルズ理論の存在証明を10月16日に形式化したというOpenAIの説明にとどまり、数学やETHのように検証範囲を明示した文書は公開されていない。

成果物が非公開となった経緯についても、OpenAIは説明している。同社によると、AIが生成した原稿は長大かつ複雑だったため、当初からLeanによる形式化が完了するまで公開を延期する方針だったという。形式化の完了後、OpenAIは外部の研究者グループを組織し、2004年のノーベル物理学賞共同受賞者であるDavid Grossが、Michael Douglas、Arthur Jaffe、Igor Klebanov、Nikita Nekrasovとともに取りまとめを担うことになった。その結果、グループはAIが生成した成果物を公開せず、自ら論文を執筆する方針を決めた。

この判断に対し、IASを拠点とする9人の数学者からなる諮問グループ「AGMAI（Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence）」は10月26日、自然言語による証明とLeanの形式証明を速やかに公開するようOpenAIに求めた。声明では、ヤン＝ミルズ理論、QCD、標準模型の完成に関する存在証明を支える成果物について、すべての研究者が平等にアクセスできる環境で理解を深めるべきだと主張している。また、OpenAI自身がLeanによる形式化の完了を発表している以上、公開をさらに遅らせる科学的な理由はないと指摘した。一方でAGMAIは、OpenAIから取りまとめを依頼された科学者たちに対して深い敬意を抱いていることも明記しており、公開方法への批判と個々の研究者への評価を区別している。

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AGMAIが問題視する公開方法と、サイモンズ財団による1500万ドルの支援

OpenAIは今回、外部研究者との協力に際して4つの原則を掲げた。第一に、参加者に秘密保持契約を求めず、途中段階の成果も含めて自由に議論・公表できる透明性を確保すること。第二に、社内モデルが生み出した発見についてOpenAI自身は学術的な功績を求めないこと。第三に、その成果への理解を深めた研究者グループが適切に功績を認められること。第四に、参加は任意かつ無報酬とし、研究上の結論は各メンバーが独立して下すことである。ただしOpenAIは、最初の取りまとめ役を自社が選ぶことで、特定の研究者が先に情報へアクセスする状況が生まれ、情報の非対称性につながることも認めている。

こうした公開方法について、AGMAIは以前から慎重な立場を示してきた。9月29日に発表した推奨では、AIが生み出した研究成果の理解を深める作業は、研究コミュニティが自主的に進めるべきであり、成果を生み出したAI企業が主導すべきではないと主張した。また、その活動のうち何を資金面で支援するかについても、AGMAIやAI企業ではなく、独立した非営利機関が判断することを推奨している。10月6日には、自らが助言を行ったことを、OpenAIの研究成果の評価や手法の是認と解釈すべきではないとする声明も発表した。

さらに10月25日の声明では、AI企業が特定の数学者を指名し、成果物を優先的に渡す方式を今後採用しないよう勧告した。その理由として、研究者間で情報へのアクセスに格差が生じること、選定に企業との関係や企業側の優先順位が反映される恐れがあること、指名された著名な数学者の名前が企業への批判をかわす材料として利用されかねないことなどを挙げている。ただし、これまで指名された数学者たちについては、善意に基づいて価値ある研究を進めてきたと評価した。OpenAIが外部の専門家に取りまとめ役を依頼する方式で今回の3件を発表したのは、この声明の翌日である。AGMAIは推奨の対象が数学分野であり、他の科学分野にそのまま当てはまるとは限らないとも断っているが、10月26日の声明ではヤン＝ミルズ理論の存在証明も数学上の重要な問題として扱っている。

研究成果の検証や理解を支える資金についても、独立した非営利機関を通じて配分する仕組みと、OpenAIが直接資金を出す仕組みが併存している。サイモンズ財団は10月15日、同財団とAnthropic、OpenAIの3者が資金と資源を持ち寄り、総額1500万ドル（約23億5000万円）を拠出すると発表した。資金の管理と助成先の選定はサイモンズ財団が担い、公募も実施する。公募プログラム「Targeted Grants to Math+AI Institutes」の提案締切は2026年12月1日だ。OpenAIは、この取り組みに500万ドル（約7億8000万円）を拠出すると説明しており、その資金もサイモンズ財団が管理・配分する。なお、円換算には米連邦準備制度理事会（FRB）のH.10に掲載された10月23日の為替レート、1ドル＝156.87円を使用している。

サイモンズ財団理事長のDavid Spergelは発表で、AIツールの評価や活用方法に関する議論は、特定の企業や機関ではなく、数学の研究コミュニティが主導すべきだと述べた。一方、ETHの検証を担当する3人の研究者が求めた会議については、OpenAIが直接資金を出すと約束している。いずれもAIによる研究成果の理解を深めるための支援だが、資金配分の決定権を誰が持つかという点では違いがある。

今回の3件は、それぞれ異なる形で第三者による検証が進むことになる。物理学については、Grossのグループが論文を発表するか、OpenAIがAGMAIの要請に応じて自然言語の証明とLeanの形式証明を公開するかが焦点となる。成果物が公開されれば、質量ギャップやゲージ群の適用範囲について、第三者が具体的な内容を確認できるようになる。ETHでは、3氏が意見を募っている2026年末までのオンライン会合や、OpenAIが資金提供を約束した会議が、検証の進展を見極める機会となる。数学の局所平滑化予想については、専任の外部グループが設けられていないため、研究者が59ページの原稿を独自に検討し、Leanの検証範囲と照合する取り組みがどこまで広がるかが重要になる。

12月1日に締め切られるサイモンズ財団の公募結果からは、AIによる数学研究の評価や理解を支える活動のうち、どのような取り組みが資金援助を受けるのかも見えてくる。ただし、今回発表された3件の検証が助成対象に含まれるかどうかは、財団の発表だけでは判断できない。特に物理学の成果は、AGMAIが数理物理学における数十年来の目標と位置づける、4次元の相互作用する場の量子論の厳密な構成に関わっている。しかし、その主張が実際にどこまで問題を解決しているのかを判断するには、まず証明の内容が公開され、外部の研究者による独立した検証が可能になることが不可欠だ。